L’origine dei numeri

1. Il sistema numerico di alcune popolazioni

Come fanno notare gli storici delle scienze matematiche, è significativo che in molte lingue del mondo persista l’uso di declinare le forme grammaticali al singolare, al duale e al plurale.

Sicuramente, per lungo tempo i nostri più remoti antenati non andarono oltre alla distinzione tra i concetti di “uno”, “due” e “molti”, come ancora oggi avviene presso alcuni popoli come gli zulu e i pigmei africani.

Lo sviluppo della nozione di numero fu il frutto di un processo graduale che viene fatto risalire a circa 300.000 anni fa, quando l’uomo preistorico registrava quantità numeriche inizialmente con le dita e, nel caso in cui non fossero sufficienti, formando mucchi di pietre o incidendo tacche su ossa o bastoni.

Verosimilmente, i primi conteggi della storia dovevano riguardare la natura, i branchi di animali o le fasi lunari.

Furono necessarie migliaia di anni perché le capacità di enumerazione progredissero e l’uomo arrivasse a concepire altre cifre oltre a quelle ricavate in base alle membra del corpo umano, quali il due (le mani), il quattro (le mani e i piedi, oppure gli spazi tra le dita di una mano) o il cinque (le dita).

D’altronde, ancora oggi il sistema numerico di alcune popolazioni, come gli eschimesi, si fonda sul computo delle dita delle mani e dei piedi; essi, per esempio, per indicare il sette dicono “due dita del secondo piede”, mentre designano il venti con l’espressione “uomo intero”. 

Gli indigeni della Papua Nuova Guinea, invece, si toccano varie parti del corpo, arrivando fino a ventidue.

Infine, i munduruku, un’isolata tribù indigena dell’Amazzonia, sanno contare solo fino a cinque in senso aritmetico e denotano quantità superiori con espressioni come“poco”, “molto”o“una certa quantità”; si servono poi di varie locuzioni quali “più di una mano”,“due mani”,“alcuni alluci”.

Secondo il linguista francese Pierre Pica, ciò deriva da un adattamento a un contesto ambientale in cui determinate conoscenze matematiche non sono indispensabili nella vita quotidiana e, dunque, il numero di vocaboli che fa riferimento a numeri e concetti di ordine matematico è alquanto limitato.

Tuttavia, come hanno osservato gli antropologi, i munduruku sono capaci di formarsi una rappresentazione mentale di numeri anche molto grandi, ben al di sopra di quelli che sono in grado di nominare, e di svolgere con questi operazioni approssimate.

Essi applicano inoltre spontaneamente il concetto di addizione, sottrazione e comparazione tra le quantità, così come avviene nei bambini piccoli che non hanno mai ricevuto insegnamenti di aritmetica; si trovano però in difficoltà quando si tratta di effettuare conteggi esatti.

L’evoluzione, in definitiva, secondo il matematico e neuropsicologo francese Stanislas Dehaene, ha impresso nel nostro cervello un innato “senso del numero” già da milioni di anni; ma se il concetto di numero approssimato è universale, quello di calcolo esatto non lo è.

Si può dunque supporre che vi sia stata nell’uomo primitivo un’iniziale capacità di valutare la quantità numerica e di porre a confronto insiemi di oggetti; il passo successivo, quello della rappresentazione simbolica, invece, fu molto più complesso.

2. Un’origine sacra o profana?

La matematica nacque probabilmente come risposta a precise necessità quotidiane, quali la registrazione di greggi, abitanti e raccolti o esigenze commerciali e amministrative.

Altre ipotesi, tuttavia, suggeriscono che tale scienza possa avere avuto un’origine religiosa, in quanto i sacerdoti cercavano di stabilire attraverso la numerazione il tempo giusto per cerimonie, sacrifici e rituali festivi.

Del resto, per secoli gli uomini hanno ravvisato un legame speciale tra i numeri e il divino e la matematica era innanzitutto pratica religiosa per Pitagora (foto), che vedeva nei numeri l’essenza di tutte le cose.

Il grande filosofo greco del VI secolo a.C. e i suoi seguaci operavano una distinzione tra numeri maschili (quelli dispari, reputati perfetti) e numeri femminili (pari e imperfetti), e assegnavano un ruolo di primo piano al dieci, la cosiddetta tetraktys o numero quaternario.

Quest’ultimo, ottenuto attraverso la somma dei quattro primi numeri, era considerato un simbolo di completezza e perfezione.

D’altronde, non è un caso se i sistemi di numerazione a base 10 sono sempre stati i più diffusi nel corso della storia, poiché dieci sono le dita delle nostre mani.

Così, la notazione decimale veniva utilizzata, per esempio, dagli Egizi e da alcuni popoli del Vicino Oriente, tra cui gli Assiri e gli Eblaiti.

3. Il mondo è matematico

Il sistema di numerazione geroglifico è antico almeno quanto le prime piramidi, che risalgono a 5000 anni fa, e si basava sul raggruppamento additivo: si scriveva cioè una serie di simboli numerici, se necessario ripetendoli, uno accanto all’altro, e il numero indicato era la somma totale del valore dei segni.

Gli Egizi rappresentavano così numeri anche molto grandi: dall’iscrizione che compare sulla testa della mazza cerimoniale di Narmer (3000 a.C. circa), sappiamo che il faraone, dopo una vittoria militare, riportò nel Paese del Nilo 400.000 capi di bovini e 1.422.000 capre.

Tuttavia, benché la notazione egizia permettesse di risolvere facilmente operazioni come la somma e la differenza di interi, la moltiplicazione e la divisione richiedevano calcoli lunghi basati su duplicazioni successive oppure divisioni per metà.

Con il tempo la numerazione geroglifica fu soppiantata dal più rapido metodo di scrittura ieratico – così detto perché usato principalmente dai sacerdoti – che prevedeva simboli diversi per ogni unità, decina, centinaia e migliaia.

Ma nonostante tale radicale modifica dei segni, il sistema matematico egizio rimase sostanzialmente immutato per secoli.

Diversa evoluzione ebbe invece la scienza dei numeri in Mesopotamia (nella foto una tavoletta di argilla di contenuto matematico).

I Babilonesi, già al tempo di Hammurabi, intorno al 1800 a.C., possedevano un metodo di numerazione efficiente e versatile, ereditato dai Sumeri.

Si trattava di una notazione sessagesimale (a base 60) a carattere posizionale, in cui, cioè, ogni cifra assumeva un valore diverso a seconda della posizione occupata nella scrittura complessiva del numero, così come avviene nel nostro sistema. Tale aspetto costituiva un’innovazione fondamentale nella rappresentazione dei numeri.

I Babilonesi potevano così designare agevolmente tutti i numeri inferiori al milione attraverso tre soli segni combinati tra loro: un trattino orizzontale, uno verticale e un segno a forma di cuneo.

Essi, inoltre, ebbero la geniale intuizione di estendere la notazione posizionale anche alle frazioni, raggiungendo un grado di precisione rimasto a lungo ineguagliato. Con i Babilonesi assistiamo, insomma, alla prima grande“età della matematica”.

4. Il concetto di zero

Spetta però agli Indiani, influenzati forse dalla tradizione matematica cinese, il merito di aver ideato, nella seconda metà del I millennio a.C., un sistema di numerazione posizionale decimale sostanzialmente identico a quello che noi usiamo tuttora.

Agli Indiani si deve inoltre l’introduzione dello zero e dei numeri negativi.

Gli scribi babilonesi utilizzavano già alcuni simboli speciali che indicavano la grandezza zero, ma quest’ultimo non era considerato un numero, era solo un segno vuoto in un sistema posizionale.

Una delle prime attestazioni dello zero dotato di valore numerico e tratteggiato con la sua caratteristica grafia, un piccolo cerchio vuoto, si ha in un’iscrizione su un piatto votivo indiano risalente all’876 d.C.

Del resto, fu proprio un grande matematico indiano, Brahmagupta (nella foto, VII secolo d.C.) , autore del trattato Brahmasphuta Siddhanta ("L’inizio dell’universo"), a proporre il primo esempio di aritmetica sistematica comprendente lo zero, che veniva trattato non più come un simbolo posizionale ma come un numero a tutti gli effetti.

Egli spiegava così la relazione tra lo zero, denominato shunya (vuoto), e gli altri numeri:
“Un debito [un numero negativo] meno shunya è un debito; una fortuna [un numero positivo] meno shunya è una fortuna; shunya meno shunya è shunya; una fortuna sottratta da shunya è un debito; il prodotto di shunya moltiplicato per un debito o una fortuna è shunya”.

Grazie al matematico Leonardo Fibonacci, che lo introdusse in Europa nel XIII sec., il sistema numerico indiano sarebbe giunto, infine, a noi.

5. Contare in Egitto ed in Mesopotamia

• Gli antichi Egizi svilupparono ottime conoscenze matematiche e scientifiche, indispensabili per far fronte alle necessità della vita quotidiana.
  In altre parole, la geometria, l’algebra e l’aritmetica erano scienze destinate a risolvere problemi pratici.
  Alla fine del IV millennio a.C., gli Egizi disponevano già di un sistema di numerazione decimale: vi erano geroglifici per indicare ciascuna delle prime sette potenze successive di dieci, i quali venivano combinati per creare il numero desiderato.
  Tale notazione aveva però un inconveniente, poiché bisognava utilizzare molti segni per rappresentare i diversi numeri.
  Con lo sviluppo del codice ieratico e demotico, i simboli si semplificarono notevolmente e se ne formarono di nuovi per velocizzare la scrittura.
  Gli Egizi avevano scoperto, probabilmente, che un triangolo i cui lati misurano 3, 4, e 5 unità contiene un angolo retto.
  Con una corda munita di 13 nodi equidistanti, essi formavano triangoli rettangoli per poter delimitare sul terreno dei campi quadrati.
• Nell’antica Mesopotamia, con la comparsa delle tavolette cuneiformi, intorno al 3200 a.C., apparvero anche i primi numeri.
  Furono i Sumeri a ideare un sistema a base 60 che fu poi adottato anche dai Babilonesi.
  Questi ultimi svilupparono notevolmente le loro conoscenze matematiche in risposta alle necessità quotidiane: c’era bisogno di strumenti di calcolo per le transazioni commerciali, la suddivisione dei terreni e la redazione dei testamenti.
  Da quando alla metà del XIX secolo ebbero inizio gli scavi archeologici nelle antiche città della Mesopotamia, sono state rinvenute più di 400 tavolette di argilla di contenuto matematico, comprendenti problemi aritmetici, esercizi per studenti, tavole di moltiplicazione e metrologiche (per la conversione delle unità di misura).
  L’efficienza del sistema di numerazione babilonese si fondava sulla sua straordinaria flessibilità, che permetteva di rappresentare tutti i numeri attraverso due soli segni cuneiformi: il primo, a forma di cuneo verticale, esprimeva l’unità e ogni potenza positiva di 60; il secondo, a forma di cuneo orizzontale, indicava invece la decina.
  I Mesopotamici furono i primi a utilizzare le frazioni per esprimere numeri più piccoli dell’unità, in modo da poter conteggiare gli interessi che si dovevano pagare su un prestito oppure calcolare il moto dei pianeti; non è un caso se la Mesopotamia costituì anche la culla dell’astronomia.
  I numeri 75, 3615 o 216.015 sono espressi nel nostro sistema posizionale decimale, o a base 10. In questa notazione, 75 equivale a “sette volte 10” + “cinque volte 1”.
  D’altra parte, il nostro sistema dispone di dieci segni (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) per indicare tutti i numeri, contro i due segni impiegati dai popoli mesopotamici.
  Nell’antica Mesopotamia era diffuso il sistema posizionale sessagesimale, o a base 60, e dunque i numeri venivano espressi in maniera differente. Per i Sumeri, 75 sarebbe equivalso a “una volta 60” + “una volta 10” + “cinque volte 1”.